neuen Töne, sondern verstärken durch Wiederholung die vorhandenen. Diese erwecken nun Gefühle, welche sich durch solche Verstärkung der Intervallempfindungen während der Entwicklung der Hörsphäre im Gehirn des Säuglings immer bestimmter und feiner ausbilden. Die Anzahl der Tonschwingungen in der Luft und der Schwingungen der Hörnervenfaser im Ohre ist identisch. Wahrscheinlich stimmt damit die Schwingungszahl der Protoplasmafäden in der Hirnrinde überein, wenn der Ton empfunden oder ein Ton-Intervall gefühlt, als etwas Neues wahrgenommen, als verschieden von andern Intervallen erkannt, also-lange vor dem Sprechenlernen-beurtheilt wird. Dann wäre schon ein unbewusstes Zählen oder Schätzen ohne Zahlbegriff vorhanden und die kleinen ganzen Zahlen wären Namen für die Tonintervallgefühle. Die für das Empfinden des stufenweisen Fortschreitens in der Tonreihe sehr merklichen Lücken, welche entstehen wenn nur die harmonischen Theiltöne, also z. B. die obige Reihe ohne die Töne i, k, l, m, n, o, p, gehört werden, entsprechen den Primzahlen 7, 11, 13, 17, 19, während die ersteren den geraden Zahlen-ich nenne sie Octaven zahlen--und den durch 3 theilbaren ungeraden oder reinen Quintenzahlen entsprechen. Beide zusammen liefern im Verein mit den durch 5 aber nicht durch 3 theilbaren Zahlen, den Terzenzahlen, die Gesammtheit der harmonischen Theilton zahlen. Jene die Lücken ausfüllenden Töne aber nenne ich Primzahlentöne. Über die Hörbarkeit derselben, namenlich der Töne, i, k, l, m, n, o, habe ich viele Versuche angestellt und in meiner Schrift, "Akustische Untersuchungen" (Jena 1879) beschrieben. Da nun die Primzahlentöne nicht allein dem Kinde wahrnehmbar sind, sondern auch in manchen Volksweisen vorkommen, so folgt im Hinblick auf den sinnlichen Ursprung aller Begriffe, und wegen der Unmöglichkeit ein anderes Sinnesgebiet als das Gehör für die Entstehung der Primzahlen unmittelbar zu verwerthen, dass die Begriffe der Zahlen überhaupt aus den Intervallempfindungen und den Lücken in der Reihe der durch sie in der unendlichen Anzahl von Tönen bevorzugten harmonischen Tonempfindungen sich gebildet haben müssen. Anfangs entstehen unbewusst Zahlgefühle beim Hören von Klängen und unharmonischen Schallcomplexen während der Differenzirung der Hörsphäre des alalischen Säuglings. Schon in der achten Lebenswoche ist die Freude an der Musik deutlich. Ich habe die ersten Tonwahrnehmungen in meinem Buche über "Die Seele des Kindes" (3. Aufl. Leipzig 1890) ausführlich erörtert und ebenda hervorgehoben, dass von der Geburt an völlig taube Kinder äusserst langsam Kopfrechnen lernen. Der durch Erblichkeit und Übung befestigte Zusammenhang des Zahlbegriffs mit dem Hören und dem Empfinden überhaupt ist bereits in meiner Schrift "Elemente der reinen Empfindungslehre" (Jena 1877) dargelegt worden. Dahin gehört auch der Begriff der Null. Denn die Begriffe der Gleichheit und Ungleichheit entstehen erst durch die Beurtheilung der Sinneseindrücke, d.h. deren Vergleichung. Ein Ton ist höher oder tiefer, lauter oder leiser als ein anderer oder nicht. Im letzteren Falle sind die Empfindungen gleich, im ersteren ungleich. Hierdurch entsteht der Begriff der Null. Ergibt der Vergleich zweier Lichter, zweier Temperaturen u.s.w. keine Verschiedenheit so nennen wir dieses im Tongebiet besonders deutlich durch die Prime markirte Ergebniss der Vergleichung der Empfindungen Null. Auf Grund der in der erwähnten Arbeit dargelegten Thatsachen ist nun auch die Genesis der kleinsten ganzen Zahlen aus der Vergleichung von Tonhöhen mittelst der Tonintervallgefühle verständlicher, als wenn man sie durch Addition von Etwas zu Etwas entstehen lässt. Die bewusste Addition tritt erst nach der Bildung der ersten Zahlen bestätigend und ergänzend auf, und erweitert die natürliche Zahlenreihe weit über die Grenzen der natürlichen Tonreihe hinaus, nachdem deren Lücken durch die Primzahlentöne and deren Derivate ausgefüllt sind, ausgefüllt durch unbewusstes Auswählen aus den unendlich vielen Tönen der Welt zur Befriedigung der Empfindung des gleichmässigen Fortschreitens in der Tonreihe unabhängig von dem Wohlklang. Wie stark dieses unbewusste Messen der Tonstufen ist, habe ich für alle Tonlagen durch viele Beobachtungen festgestellt. Ohne in physiologisch-psychologischer Hinsicht diesen Vorgang der Arithmogenesis ausführlich zu erörtern, möchte ich (hier) darauf hinweisen, dass die Einsicht in die Entstehung der natürlichen Zahlenreihe als eines aus Tonempfindungen gewordenen Systems, zu neuen Erkenntnissen führt, besonders in Betreff der Primzahlen, welche nichts weniger als "Stammzahlen," sondern im Gegentheil spätere Lücken ausfüllende Gebilde sind. Es müssen die ganze unendliche Zahlenreihe hindurch jedesmal unter beliebigen sechs aufeinanderfolgenden Zahlen zwei Luckenzahlen vorkommen, eine welche einer durch 6 theilbaren Zahl vorausgeht, eine welche ihr nachfolgt. Hieraus folgt dass das natürliche Zahlen-system aus 6-gliedrigen Perioden bestehen muss. Ordnet man demnach sämmtliche Zahlen aufsteigend, so erhält man sechs arithmetische Reihen, welche vermöge ihrer Genesis ihren Charakter nicht ändern können, wenn man die Zahlenreihe auch noch so lange fortsetzt. Ich stelle hier die Anfänge der sechs Reihen zusammen und verweise betreffs der Begründung auf meine Schrift "Über den Ursprung des Zahlbegriffs aus dem Tonsinn und über das Wesen der Primzahlen" (Hamburg, Voss 1891), welcher der Inhalt dieses Vortrages zum Theil entnommen ist. Da mit diesen sechs Reihen das System der positiven ganzen Zahlen erschöpft ist, so können die Terzenzahlen and Septimenzahlen u.s.w. nicht neue, ihnen gleichwerthige Reihen bilden. Ein Blick auf die Zahlentafel aber zeigt, dass sie secundäre, schräge Reihen darstellen, and zwar erstere von rechts oben nach links unten, 5, 10, 15, und 30, 35, 40 u.s.w., letztere von links oben nach rechts unten 7, 14, 21, und 49, 56, 63 u.s.w. Entsprechend bilden alle durch die auf die 5 und 7 folgenden glieder in I. und V., theilbaren Zahlen periodische schräge Reihen, z. b. 23, 46, 69 u.s. w., so dass die durch 11, 13, 17, 19 u.s. w. theilbaren Zahlen schnell zu finden sind. Die so charakterisirte sechsgliedrige Zahlentafel dient nun dazu die genetischen und formalen Eigenschaften jeder beliebigen Zahl sogleich zu ermitteln und mit ihrer Hülfe ist es möglich Aufgaben leicht zu lösen, welche bisher nur auf Umwegen oder garnicht genau gelöst werden konnten. Doch gehört die Begründung nicht hierher, sondern in die Zahlentheorie. Hier sei nur noch darauf aufmerksam gemacht, dass gerade diejenigen kleinsten Zahlen, welche für die Musik und den Gesang eine grundlegende Bedeutung haben, die der viel discutirten diatonischen Dur-Tonleiter 24 27 30 32 36 40 45 ausschliesslich Octaven-und Quintenzahlen sind: 48 Octave von 6.2 und Quinte der Doppel octave von 2. Quinte von 6.3 Octave der Quinte der Octave von 5 und Octave der Doppeloctave von 2 Octave von 6.3 und Quinte der Octave von 6.2 = Octave der Doppeloctave von 5 6n+ 3 = 48 = 6n = Octaveder 24 und Quinteder 36. Man hat also unter 8 zahlen 6 Octavenzahlen und 6 Quintenzahlen Reihe und die bemerkenswerthen Gleichungen. |